الرياضيات المتناهية الأمثلة

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

خطوة 1

اكتب $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$ في صورة معادلة.

$y = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

خطوة 2

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور السيني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني، عوّض بـ $0$ عن $y$ وأوجِد قيمة $x$ .

$0 = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

خطوة 2.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$ .

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أعِد تجميع الحدود.

$10 x^{3} - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

خطوة 2.2.2.2

أخرِج العامل $10 x$ من $10 x^{3} - 10 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

أخرِج العامل $10 x$ من $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

خطوة 2.2.2.2.2

أخرِج العامل $10 x$ من $- 10 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

خطوة 2.2.2.2.3

أخرِج العامل $10 x$ من $10 x (x^{2}) + 10 x (- 1)$ .

$10 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

خطوة 2.2.2.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$10 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

خطوة 2.2.2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$10 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

خطوة 2.2.2.5

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 11 = 0$

خطوة 2.2.2.6

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 12 u + 11 = 0$

خطوة 2.2.2.7

حلّل $u^{2} - 12 u + 11$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.7.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $11$ ومجموعهما $- 12$ .

$- 11, - 1$

خطوة 2.2.2.7.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (u - 11) (u - 1) = 0$

خطوة 2.2.2.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1) = 0$

خطوة 2.2.2.9

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.10

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.10.1

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.10.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

خطوة 2.2.2.11

أخرِج العامل $(x + 1) (x - 1)$ من $10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.11.1

أخرِج العامل $(x + 1) (x - 1)$ من $10 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

خطوة 2.2.2.11.2

أخرِج العامل $(x + 1) (x - 1)$ من $(x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11) = 0$

خطوة 2.2.2.11.3

أخرِج العامل $(x + 1) (x - 1)$ من $(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

خطوة 2.2.2.12

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

خطوة 2.2.2.13

حلّل $10 u + u^{2} - 11$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.13.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 11$ ومجموعهما $10$ .

$- 1, 11$

خطوة 2.2.2.13.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

خطوة 2.2.2.14

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

خطوة 2.2.2.14.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x + 1) (x - 1) (x - 1) (x + 11) = 0$

خطوة 2.2.2.15

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.15.1

ارفع $x - 1$ إلى القوة $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

خطوة 2.2.2.15.2

ارفع $x - 1$ إلى القوة $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

خطوة 2.2.2.15.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 11) = 0$

خطوة 2.2.2.15.4

أضف $1$ و $1$ .

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$

خطوة 2.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 11 = 0$

خطوة 2.2.4

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 2.2.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 2.2.5

عيّن قيمة العبارة ${(x - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

عيّن قيمة ${(x - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 1)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.2.5.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.2.6

عيّن قيمة العبارة $x + 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

عيّن قيمة $x + 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 11 = 0$

خطوة 2.2.6.2

اطرح $11$ من كلا المتعادلين.

$x = - 11$

خطوة 2.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$ صحيحة.

$x = - 1, 1, - 11$

خطوة 2.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(- 1, 0), (1, 0), (- 11, 0)$

خطوة 3

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور الصادي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي، عوّض بـ $0$ عن $x$ وأوجِد قيمة $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

خطوة 3.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

خطوة 3.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

خطوة 3.2.3

احذِف الأقواس.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

خطوة 3.2.4

احذِف الأقواس.

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

خطوة 3.2.5

بسّط ${(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

خطوة 3.2.5.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

خطوة 3.2.5.1.3

اضرب $10$ في $0$ .

$y = 0 + 0 - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

خطوة 3.2.5.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 + 0 - 12 \cdot 0 - 10 \cdot 0 + 11$

خطوة 3.2.5.1.5

اضرب $- 12$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 10 \cdot 0 + 11$

خطوة 3.2.5.1.6

اضرب $- 10$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 11$

خطوة 3.2.5.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 11$

خطوة 3.2.5.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 0 + 11$

خطوة 3.2.5.2.3

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 11$

خطوة 3.2.5.2.4

أضف $0$ و $11$ .

$y = 11$

خطوة 3.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, 11)$

خطوة 4

اسرِد التقاطعات.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(- 1, 0), (1, 0), (- 11, 0)$

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, 11)$

خطوة 5